現在は様々な夫婦関係があり、その家庭ごとの距離感や空気感というものは一組ずつ異なる形をしています。
最近に始まったことではありませんが、以前から戸籍上の関係を結ばずに実質的な夫婦関係を営むことを内縁関係といい、それぞれを「内縁の夫」や「内縁の妻」というように呼んでいる習慣があります。

遺産相続においては、法で決まっている相続人となることができる対象を定めた法定相続人というものがあり、その中には配偶者が含まれていますが、このような内縁の夫や妻には相続権があるのでしょうか？

端的に遺産相続という視点から考察したとき、この内縁関係者には基本的に相続権がありません。
ですので、もし配偶者の身に遺産相続が必要になる予感がしてきたらあらかじめ籍を入れるという方法をとれば、それまで内縁関係であったとしても正式な法定相続人として被相続人の遺産を受け取る権利を得ることができます。
この配偶者に関しては被相続人の生前に配偶者であれば、その期間は問われていませんので、仮に籍を入れた翌日に夫が亡くなり遺産相続が発生したとしても、その妻には正式な相続権が与えられます。

また、これはレアなケースとなりますが、内縁関係であったとしても財産分与という視点で考察した場合、実質的共有財産にあたる遺産があったとすれば、それを内縁の妻が受け取れるように権利を守るような交渉も専門家に依頼することで有利に進めることができる場合があります。
ですので、もしも籍を入れる前に内縁関係のパートナーが亡くなった場合には、一度専門家に相談してみると良いと思います。